Intro a la Teoría de Juegos, parte 2

2. Juegos Rectangulares

Adaptando las definiciones que se dieron anteriormente para los juegos rectangulares al caso de juegos de dos personas y de suma cero, resulta la definición que veremos a continuación en la que omitimos los calificativos “de dos personas” y “de suma cero”, que quedarán sobreentendidos en lo sucesivo. Por cierto, el juego se llama “rectangular” por la facilidad de acomodar los datos de una manera rectangular, tipo matriz.

Despliegue rectangular de un juego

Un juego rectangular {G} está determinado por una terna

\displaystyle G=(X,Y,M)\ \ \ \ \ (1)

donde {X,Y} son conjuntos cualesquiera y {M} una función que tiene por dominio el producto cartesiano {X\times Y} y que toma valores reales

\displaystyle M:X\times Y\rightarrow\mathbb{R}.

Mientras no se diga nada en contra se supone que {M} es una función acotada. Para una realización del juego {G} se supone que existen dos jugadores que llamaremos jugador 1, J1, y jugador 2, J2. El J1 elige un elemento {x\in X} y el J2 elige un elemento {y\in Y}, estas elecciones las hacen los dos jugadores ignorando cuál ha sido la elección del otro jugador.

Una vez hechas estas elecciones, el J2 paga al J1 la cantidad {M(x,y)}. Así pues la ganancia del J1 es {M(x,y)} y la del J2 es el valor opuesto {\left(-M(x,y)\right)}. Por lo tanto el objetivo del J1 es conseguir el mayor valor posible de su ganancia {M(x,y)}; mientras que, por su parte, el J2 tratará de minimizar su pago {M(x,y)}.

Los elementos {x\in X} se llaman estrategias (o estrategias puras) del J1 y los elementos {y\in Y} se llaman estrategias (o estrategias puras) del J2. La función {M} se llama función de pago del juego {G}.

En un juego rectangular {G=(X,Y,M)} desempeñan un importante papel las dos funciones

\displaystyle  V_1:X\rightarrow \mathbb{R},\quad V_2:Y\rightarrow \mathbb{R}

definidas por

\displaystyle  V_1(x)=\inf_{y\in Y} M(x,y),\quad V_2(y)=\sup_{x\in X} M(x,y)  \ \ \ \ \ (2)

y los dos números

\displaystyle  v_1=\sup_{x\in X} V_1(x),\quad v_2=\inf_{y\in Y} V_2(y). \ \ \ \ \ (3)

entre estos elementos del juego siempre vale

\displaystyle  V_1(x)\leq v_1,\quad v_2\leq V_2(y). \ \ \ \ \ (4)

La interpretación intuitiva de estos datos es inmediata. El valor {V_1(x)} es la ganancia que tiene asegurada el J1 si elige la estrategia {x}; el número {v_1} es lo máximo que puede asegurarse si la estrategia la elige convenientemente. Análogas interpretaciones valen para {V_2(y)} y {v_2}. Un teorema importante que relaciona los valores {v_1,v_2} es el siguiente:

Sea {G=(X,Y,M)} un juego rectangular. Entonces se verifica que

\displaystyle v_1\leq v_2.\ \ \ \ \ (5)

Cuando existe una estrategia {\bar{x}\in X} tal que

\displaystyle  V_1(\bar{x})=\sup_{x\in X}V_1(x)=v_1  \ \ \ \ \ (6)

entonces a esta estrategia {\bar{x}} se le llama estrategia maximin para el J1. Esta estrategia existe si el supremo de {V_1(x)} es accesible. De modo análogo, una estrategia minimax es una estrategia {\bar{y}\in Y} tal que

\displaystyle  V_2(\bar{y})=\inf_{y\in Y}V_2(y)=v_2  \ \ \ \ \ (7)

y su existencia equivale a decir que el extremo inferior de {V_2(y)} es accesible.

Para estas estrategias se tiene, de (2), (6) y (7), que

\displaystyle  v_1\leq M(\bar{x},y),\quad M(x,\bar{y})\leq v_2,\quad \forall x\in X,\forall y\in Y.  \ \ \ \ \ (8)

Si existe la estrategia maximin {\bar{x}}, {v_1} es la ganancia que puede asegurarse el J1 jugando con ella. Del mismo modo, eligiendo la estrategia minimax (si existe), el J2 se asegura de que su pago no supere a {v_2} (o bien, que su ganancia no quede por debajo de {-v_2})

proxima semana: Juegos con valor.

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