Intro a Teoría de Juegos

1. Generalidades

El objeto de la llamada “Teoría de Juegos” es el estudio de los juegos de estrategia.

Las primeras referencias a los juegos de estrategia se deben a E. Zermelo (1913) Uber eine anwendung der Mengenlehre auf die theorie des Schaschpiels, E. Borel (1924) Sur les jeux aus interviennent l’asard et l’habilité des joueux, y John von Neumann (1928) Zur theorie der Gesellschaftspiele. Se señala a la histórica obra de John von Neumann y Oskar Morgenstern (1944) Theory of Games and Economic Behaviour como la que consagra definitivamente la Teoría de Juegos colocándola, por su valor teórico y práctico, al mismo nivel que las otras teorías matemáticas.

Entre las primeras aplicaciones aparte de los temas económicos y militares recibieron una gran atención las relativas a la Estadística, a lo que contribuyó en gran medida la ingente labor de A. Wald quien además de su obra Statistical Decision Functions (1950), publicó numerosos trabajos sobre este tema.

Recientemente la Teoría de Juegos ha vuelto a destacar con la concesión del premio Nobel de Economía en 1994 a John F. Nash, Reinhard Selten y John Harsanyi, y en 2005 a Robert J. Aumann y Thomas C. Schelling; en ambos casos por sus estudios en Teoría de Juegos.

En un sentido amplio, un juego es una confrontación entre varias personas o equipos que llamaremos jugadores, cada uno de los cuales puede ejecutar algunas acciones de las que resulta como consecuencia final una ganancia (o pérdida) para cada jugador.

Generalmente, en la práctica, un juego de estrategia se desarrolla en etapas sucesivas en las que los jugadores intervienen alternativamente, y el resultado final del juego depende de las elecciones tomadas por los jugadores en los momentos en que les toca intervenir. Por un proceso de sintetización, un juego de este tipo se puede reducir a un juego con una estructura particularmente simplificada y que llamaremos juego rectangular o juego en forma normal. Podríamos decir que los juegos rectangulares constituyen la forma canónica o forma normal de los juegos de estrategia.

En un juego rectangular de {n} personas, el jugador {i} dispone de un conjunto {X_i} de acciones o estrategias, de modo que en una realización del juego, dicho jugador {i} debe elegir un elemento

\displaystyle  x_i\in X_i.

Además, en estos juegos deben estar definidas {n} funciones

\displaystyle M_i:X_1\times X_2\times\cdots\times X_n\rightarrow\mathbf{R}\quad\forall i=1,\ldots,n

llamadas funciones de pago, de modo que si los jugadores {1,2,\ldots,n} han elegido respectivamente las estrategias

\displaystyle x_1,x_2,\ldots,x_n

entonces el jugador {i} gana la cantidad representada por

\displaystyle M_i(x_1,x_2,\ldots,x_n).

Si este número es negativo, el jugador {i} sufre una pérdida igual al valor absoluto de dicho número.

La forma de desarrollarse este juego es pues, la siguiente:

Cada jugador {i} elige una de las estrategias {x_i\in X_i}. Estas elecciones se hacen de modo que cada jugador ignora las estrategias que eligen los restantes jugadores. Una vez que los {n} jugadores han hecho su elección, se reúnen las estrategias {x_i} para calcular los valores de las {n} funciones de pago {M_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)} y estas son las ganancias de los jugadores {1,2,\ldots,n}.

Los jugadores conocen, previamente a su elección, las funciones {M_i}, y el modo de llevar a cabo el proceso anterior, por lo que pueden hacer un estudio previo para ver cuál es su estrategia mas favorable. La dificultad está en que el jugador {i} controla solamente una variable de la función {M_i} que determina su ganancia, mientras que las restantes {   n-1} variables las controlan los restantes jugadores.
El jugador {i} intenta maximizar {M_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)} pero seguramente el efecto de la elección de los otros jugadores sobre esta función le es desfavorable.

El juego rectangular de {n} personas se dice ser de suma cero si se cumple que

\displaystyle \sum_{i=1}^n{M_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)}=0,\quad\forall (x_1,x_2,\ldots,x_n)\in X_1\times X_2\times\cdots\times X_n.

En un juego rectangular de {n} personas, se dice que

\displaystyle (\bar{x}_1,\bar{x}_2,\ldots,\bar{x}_n)\in X_1\times X_2\times\cdots\times X_n

es un punto de equilibrio del juego si se verifica

\displaystyle M_i(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\ldots,\bar{x}_{i-1},x_i,\bar{x}_{i+1},\ldots,\bar{x}_n)\leq M_i(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\ldots,\bar{x}_{i-1},\bar{x}_i,\bar{x}_{i+1},\ldots,\bar{x}_n)

para todo {i} y todo {x_i\in X_i}.

Se considera que la existencia de un punto de equilibrio debe inducir a los jugadores a elegir las estrategias que componen dicho punto, con lo que el juego queda resuelto.

proxima semana: Juegos Rectangulares

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4 Responses to Intro a Teoría de Juegos

  1. Buen post! Me gusta este tema de teoría de Juegos. Vamos a ver que tanto puedo aprender.

  2. varasdemate says:

    Es relativamente facil. Una forma particular de optimizacion 😉

  3. Jana says:

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