Pequeña nota sobre Teoría de Juegos y el Teorema del punto fijo

Como complemento del curso sobre Topología, presento aquí un resumen de un teorema fundamental de la teoría de juegos, cuya prueba depende fundamentalmente en el Teorema del punto fijo de Brouwer, que a su vez debe su resultado a la necesidad de compacidad del espacio en cuestión.

El enunciado del Teorema del punto fijo de Brouwer es el siguiente:

Sea {C} un conjunto convexo y compacto de {\mathbb{R}^n}. Si {f:C\rightarrow C} es continua, entonces

\displaystyle \exists x\in C\ni f(x)=x

La simplicidad del teorema es evidente y su resultado es poderoso. Pero tal belleza y simplicidad dependen fuertemente del hecho de que el espacio sea compacto. Pues, como contraejemplo, la generalización que parece inmediata de que el resultado sería cierto en el caso de un espacio infinito-dimensional de Hilbert falla precisamente por la ausencia de compacidad de la bola unitaria infinito-dimensional en dicho espacio. Un ejemplo es el de la función {f:\ell^2\rightarrow\ell^2} que manda una sucesión {x=(x_n)} dentro de la bola unitaria cerrada a la sucesión {(y_n)} definida por

\displaystyle y_n=\begin{cases}\sqrt{1-||x||_2^2}, & n=0\\x_{n-1}, & n\geq 1\end{cases}

En este caso se verifica que esta aplicación es continua, su imagen es subconjunto de la bola unitaria de {\ell^2}, pero no tiene un punto fijo.

Existen diversas demostraciones para este teorema. Este argumento procede por contradicción. Para simplificar, suponemos que {C=D^n}, la bola unitaria cerrada de dimensión {n}. Suponemos que {f:D^n\rightarrow D^n} no tiene ningún punto fijo. Así, para todo {x\in D^n}, existe una línea que pasa por {x} y {f(x)}. Tal línea interseca a {S^{n-1}} – la frontera de {D^n} – en un punto que llamamos {F(x)}. Esto define una retracción {F:D^n\rightarrow S^{n-1}}. Sabiendo que no puede existir tal retracción, llegamos a la contradicción. Probar que no existe una retracción de la esfera {D^n} en su frontera {S^{n-1}} en el caso {n>2} utiliza herramientas de Homología de grupos (aunque en el caso {n=1} es bastante claro). Otra prueba es una prueba casi elemental que utiliza el lema de Sperner en {n} dimensiones. Pero de esa no hablaremos acá.

Vemos, por ende, la condición de compacidad es fundamental para la existencia del teorema anterior, que a su vez sustenta el teorema Fundamental de los juegos finitos, el cual enunciamos a continuación:

Sea {G=(X,Y,M)} un juego finito, con {X=\{1,\ldots,m\},Y=\{1,\ldots,n\},M(i,j)=a_{ij}, i\in X, j\in Y}. Sea {\Gamma=(X^*,Y^*,M)} su extensión mixta. Entonces el juego tiene un valor {v}, es decir, {v_1^*=v_2^*=v}, donde {v_1^*=\sup_\xi\inf_\eta M(\xi,\eta)} y {v_2^*=\inf_\eta\sup_\xi M(\xi,\eta)}, y existen estrategias óptimas {\overline{\eta},\overline{\xi}} para el jugador 1, 2; respectivamente.

En otras palabras {V_1(\overline{\xi})=v_1^*,V_2(\overline{\eta})=v_2^*}

Como se mencionó al principio, el paso clave en la prueba de este teorema utiliza el teorema del punto fijo. Tal prueba fue hecha por el mismo John von Neumann – reconocido matemático húngaro-estadounidense que realizó importantes contribuciones a la ramas de matemática, economía, informática, entre otras.

Este teorema es fundamental en la teoría de juegos. Su resultado establece que cualquier juego finito de dos jugadores tiene un valor, es decir, una “solución”, o más específicamente una estrategia óptima para cada jugador.

Teoremas de la teoría de juegos subsiguientes que tácitamente suponen la existencia de un valor de juego, y que son a su vez teoremas absolutamente necesarios en la resolución y búsqueda de estrategias óptimas de juegos específicos, dependen del resultado del teorema fundamental de juegos finitos.

De esta manera, tenemos una cadena de resultados fundamentales que comienza con la suposición de compacidad del espacio en cuestión. De aquí la importancia de la interiorización del concepto de compacidad para todo matemático.

Referencias

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5 Responses to Pequeña nota sobre Teoría de Juegos y el Teorema del punto fijo

  1. varasdemate says:

    me he dado cuenta que una pequeña reseña introductoria a la teoría de juegos incluyendo por ejemplo la definición de extensión mixta sería buena.

    Coming soon 😉

  2. J. Sánchez says:

    Tal vez prepare una nota con el teorema de Brouwer.

  3. Pingback: Teorema del punto fijo de Brouwer | varasdemate

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